Question

14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$，且f（x+2）=f（x），g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，则方程f（x）=g（x）在区间[-6，2]上的所有实根之和为（　　）

• A． -5
• B． -7
• C． -9
• D． -11

Answer 1

分析 将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2，x∈[0，1）\\ 2-{x^2}，x∈[-1，0）\end{array}$，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x-2∈[0，1）}\\{{-x}^{2}，x-2∈[-1，0）}\end{array}\right.$，
又g（x）=$\frac{2x+5}{x+2}$，则g（x）=2+$\frac{1}{x+2}$，
∴g（x-2）-2=$\frac{1}{x}$，
当x≠2k-1，k∈Z时，
上述两个函数都是关于（-2，2）对称，
；
由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[-6，2]上的实根有3个，
x₁满足-5＜x₁＜-4，x₂=-3，x₄满足0＜x₃＜1，x₁+x₃=-4，
∴方程f（x）=g（x）在区间[-6，2]上的所有实根之和为-7．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．