Question

已知g（x）=x²+1，f（x）是二次函数，且f（x）+g（x）为奇函数，当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为

1

2

，求f（x）的表达式．

Answer 1

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c+1为奇函数，
∴F（0）=0，且F（1）=-F（-1），∴a=-1，c=-1，得到f（x）=-x²+bx-1，
∵当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为

1

2

，∴

b 2 ＜-1 f(-1)= 1 2

或

-1≤ b 2 ≤2 f( b 2 )= 1 2

或

b 2 ＞2 f(2)= 1 2

解得b=-

5

2

，b=

6

所以f(x)=-x2-

5

2

x-1或f(x)=-x2+

6

x-1