Question

已知g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）是奇函数，且当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：用待定系数法求函数f（x）的解析式，设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），利用奇函数的定义列等式，利用二次函数的最值列不等式，从而求出系数即可．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
则g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3为奇函数，
∴a=1，c=3（4分）
∴f(x)=x2+bx+3=(x+

b

2

)2+3-

b2

4

∵当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1
∴

- b 2 ＜-1 f(-1)=1-b+3=1

或

-1≤- b 2 ≤2 3- b2 4 =1

或

- b 2 ＞2 f(2)=4+2b+3=1

（8分）
解得b=3或b=-2

2

（10分）
∴f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2

2

x+3（12分）
故f（x）的表达式为：f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2

2

x+3．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，由于已知函数的类型，故可设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），再利用条件确定系数即可解决问题．