题目内容
△ABC中，若2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，求角B的最大值．
考点：余弦定理的应用,正弦定理,余弦定理,解三角形
专题：转化思想,解三角形
分析：利用正弦定理转化已知条件为边的关系，通过余弦定理转化为B的关系，利用余弦函数的单调性求出B的最大值．
解答：
解：2sinAsinC=sinAsinB+sinBsinC，由正弦定理可知，2ac=bc+ac，
即
=
+
，∴
，
，
成等差数列，令公差为d≥0，不妨设
=
+d，
=
-d，
∴a=
，c=
，
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得b2=(
)2+(
)2-2(
)(
)cosB，
化简整理得
cosB=
-1，
可得cosB=
，
∵d≥0，∴b2d2≥0，
∴cosB=
≤
．
∴0＜B≤
．
B的最大值为
．
即
| 2 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| b |
∴a=
| b |
| 1+bd |
| b |
| 1-bd |
由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，可得b2=(
| b |
| 1+bd |
| b |
| 1-bd |
| b |
| 1+bd |
| b |
| 1-bd |
化简整理得
| 2 |
| 1-b2d2 |
| 2+2b2d2 |
| 1-b4d4 |
可得cosB=
| 1+b2d2 |
| 2 |
∵d≥0，∴b2d2≥0，
∴cosB=
| 1+b2d2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴0＜B≤
| π |
| 3 |
B的最大值为
| π |
| 3 |
点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理以及等差数列的应用，巧妙利用换元法以及余弦函数的单调性是解题的关键，难度比较大．
练习册系列答案
相关题目
已知命题p：a2-16≥0，命题q：a+4≤0，则p是q的（ ）
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
函数y=log2cos（π-x）（ ）
| A、是偶函数，但不是周期函数 |
| B、是周期函数，但不是偶函数 |
| C、是偶函数，也是周期函数 |
| D、不是周期函数，也不是偶函数 |