Question

1．如图，平面四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC=2AB=4$\sqrt{3}$，DA=DC，F是AC上一点，且AF=$\frac{1}{3}$AC．将该四边形沿AC折起，使点D在平面ABC的射影E恰在BC上，此时DE=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）证明：AB⊥平面BCD；
（Ⅱ）证明：AB∥平面DEF；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDF的体积．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥BC，AB⊥DE即可得出AB⊥平面BCD；
（II）利用勾股定理计算BC，CE即可得出$\frac{BE}{BC}=\frac{AF}{AC}$=$\frac{1}{3}$，于是AB∥EF，故而AB∥平面DEF；
（III）V_A-BDF=V_D-ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABF•DE，而S_△ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABC．

解答 证明：（I）∵DE⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴DE⊥AB，
又AB⊥BC，BC?平面BCD，DE?平面BCD，BC∩DE=E，
∴AB⊥平面BCD．
（II）∵△ACD是等腰直角三角形，AC=4$\sqrt{3}$，∴DC=2$\sqrt{6}$．
∵DE⊥CE，DE=2$\sqrt{2}$，∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}-D{E}^{2}}$=4．
∵AB=2$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{3}$，∠ABC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=6．∴BE=2．
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$．
∴AB∥EF，又AB?平面DEF，EF?平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
（III）∵AF=$\frac{1}{3}$AC，∴S_△ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×6$=2$\sqrt{3}$．
∵DE⊥平面ABC，
∴V_A-BDF=V_D-ABF=$\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•DE$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．