Question

定理：已知O，A，B三点不共线，若点P在直线AB上，且

OP

=λ

OA

λ2

OB

则λ₁+λ₂=1，类比该定理进行研究，可以得出：已知O、A、B三点不共线，若点P、O在直线AB同侧（点P不在直线AB上），且

OP

=λ1

OA

λ2

OB

，则

λ₁+λ₂＜1

．

Answer 1

分析：延长OP至Q，令OQ在直线AB上，由点P、O在直线AB同侧及向量共线的充要条件可得实数a＜1使得

OP

=a

OQ

，又由Q点在直线AB上，可得存在实数μ₁，μ₂，使

OQ

=μ1

OA

+μ2

OB

且μ₁+μ₂=1，进而根据λ₁+λ₂=a（μ₁+μ₂）得到答案．

解答：解：延长OP至Q，令OQ在直线AB上，
则存在实数a使得

OP

=a

OQ

，
∵P、O在直线AB同侧
∴|

OP

|＜|

OQ

|
∴a＜1
又∵则存在实数μ₁，μ₂，使

OQ

=μ1

OA

+μ2

OB

且μ₁+μ₂=1
∴

OP

=λ1

OA

+λ2

OB

=aμ1

OA

+aμ2

OB

即λ₁+λ₂=a（μ₁+μ₂）＜1
故答案为：λ₁+λ₂＜1

点评：本题又类比推理为载体考查了向量共线的充要条件，向量的基本定理等知识点，熟练掌握向量的基本概念是解答的关键．