Question

14．设函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x．
（1）求函数f（x）的最大值与最小正周期．
（2）△ABC中，若 AC=2$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{1}{3}$，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，且C为锐角，求BC的长度．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的余弦及倍角公式化简，求出函数的最大值，再由周期公式求周期；
（2）由f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进一步得到cosC=$\frac{1}{2}$．又cosB=$\frac{1}{3}$，得sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求出sinA，然后利用正弦定理求得BC的长度．

解答 解：（1）f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+sin²x=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+si{n}^{2}x$
=$\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1-cos2x}{2}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）由f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，得$-\frac{\sqrt{3}}{2}sinC+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，∴C=60°，cosC=$\frac{1}{2}$．
又cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{BC}{\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}}$，
∴$BC=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的性质，训练了正弦定理在解三角形中的应用，是中档题．