Question

已知函数g(x)=ae^x-1-x²+bln(x+1)，a，b∈R，
(Ⅰ)若a=0，b=1，求函数g(x)的单调区间；
(Ⅱ)若g(x)的图象在(0，g(0))处与直线x-ey+1=0相切，
(ⅰ)求a、b的值；
(ⅱ)求证：x∈（-1，1），g(x)＜。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，有，
令，解得；令，解得，
所以增区间是，减区间是；
（Ⅱ）(ⅰ)由切线方程可知：切点（0，），切线斜率为，
所以，
因为，
所以，
综上，a=1，b=0；
(ⅱ)证明：，记，
在（-1，1）上，＜0，
所以是减函数，即函数在（-1，1）上是减函数，
因为，
所以在（-1，1）内恰有一根，记为x₀，
在上，，g(x)是增函数；在上，，g(x)是减函数，
所以是极大值，也是最大值，
只需证明，
因为，
所以，
所以，。