Question

【题目】已知双曲线的中心在原点，焦点F1 ， F2在坐标轴上，离心率为 ，且过点（4，﹣ ），点M（3，m）在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证：MF1⊥MF2；
（3）求△F1MF2的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∴ ，∵c2=b2+a2∴a2=b2

∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）

∵双曲线过点 ，∴16﹣10=λ，即λ=6

∴双曲线方程为x2﹣y2=6．

（2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ，

∴ ．

∴ ，

又∵点M（3，m）在双曲线上，∴9﹣m2=6，m2=3．

∴

∴MF1⊥MF2

（3）解：由（2）知MF1⊥MF2，

∴△MF1F2为直角三角形．

又 ， ， 或 ，

由两点间距离公式得 ，

，

= ．

即△F1MF2的面积为6

【解析】（1）先求出a，b的关系，设出双曲线的方程，求出参数的值，从而求出双曲线方程即可；（2）先表示出MF1和MF2的斜率，从而求出m的值，进而求出斜率的乘积为﹣1，证出结论；（3）分别求出MF1和MF2的长度，从而求出三角形的面积即可．