Question

【题目】已知数列{an}前n项和为Sn ， 首项为a1 ， 且 ，an ， Sn成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证： + + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，an，Sn成等差数列，∴2an= ，

当n=1时，2a1= ，解得a1= ．

当n≥2时，2an﹣2an﹣1= ﹣ =an，化为：an=2a．

∴数列{an}是等比数列，首项为 ，公比为2．∴an= =2n﹣2

（2）证明：bn=（log2a3n+1）×（log2a3n+4）= log2（3n+2）=（3n﹣1）（3n﹣2），

∴ = = ．

∴ + + +…+ = +…+ = ＜ ．

【解析】（1）由 ，an ， Sn成等差数列，可得2an= ，当n=1时，2a1= ，解得a1 ． 当n≥2时，2an﹣2an﹣1=an ， 化为：an=2a．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）bnspan>= log2（3n+2）=（3n﹣1）（3n﹣2），可得 = = ．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．