Question

已知离心率为的椭圆的顶点恰好是双曲线的左右焦点，点是椭圆上不同于的任意一点，设直线的斜率分别为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当，在焦点在轴上的椭圆上求一点Q，使该点到直线的距离最大。

（3）试判断乘积“”的值是否与点的位置有关，并证明你的结论；

 

Answer 1

(1)或；(2) （；(3) 的值与点的位置无关

【解析】

试题分析：（1）注意要分类讨论，顶点是短轴顶点，还是长轴顶点；(2)椭圆上到距离最大的点是与直线平行且与椭圆相切的点；（3）利用点P在椭圆上满足椭圆方程，设点P坐标，带入椭圆方程，通过变形，即可知=，与k无关.

试题解析：（1）双曲线的左右焦点为,即的坐标分别为. 所以设椭圆的标准方程为,则,

且,所以,从而,

所以椭圆的标准方程为或

(2) 当时，，故直线的方程为即，

设与平行的直线方程为：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入椭圆方程得：，

，∵求距离最大，∴，代入方程，解得：，∴点Q（；

（3）设则，即

.所以的值与点的位置无关，恒为.

考点：（1）椭圆双曲线的标准方程；（2）直线与圆锥曲线的位置关系.