题目内容
（2013•浙江模拟）在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，点M，N分别是BC，CD边上的动点，且
=
，则
•
的取范围是
|
| ||
|
|
2|
| ||
|
|
| AM |
| AN |
[3，4]
[3，4]
．分析：设给出的比式的比值为λ，然后运用向量加法的三角形法则把向量
和向量
都用向量
和
表示，则结果可求．
| AM |
| AN |
| AB |
| AD |
解答：
解：设
=
=λ （0≤λ≤1），
则：
=
，
所以
•
=(
+λ
)•(
+
)
=(
+λ
)•(
+
)=
•
+
|
|2+λ|
|2+
•
=4-2λ+λ=4-λ，
因为0≤λ≤1，所以3≤4-λ≤4，
故答案为[3，4]．
解：设|
| ||
|
|
2|
| ||
|
|
则：
|
| ||
|
|
| 2-λ |
| 2 |
所以
| AM |
| AN |
| AB |
| BC |
| AD |
| 2-λ |
| 2 |
| DC |
=(
| AB |
| AD |
| AD |
| 2-λ |
| 2 |
| AB |
| AB |
| AD |
| 2-λ |
| 2 |
| AB |
| AD |
| 2-λ |
| 2 |
| AB |
| AD |
=4-2λ+λ=4-λ，
因为0≤λ≤1，所以3≤4-λ≤4，
故答案为[3，4]．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，解答此题的关键是把要求数量积的向量用向量
，
表示，此题为中档题．
| AB |
| AD |
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