Question

【题目】已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．
（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ： 得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．

直线l的参数方程为 （t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3

（2）解：曲线C经过伸缩变换φ： ，即 ，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′： =1．

若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d= = ≥ = ，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．

因此最小距离为：

【解析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为 （t为参数），相减消去参数t化为普通方程．（2）曲线C经过伸缩变换φ： ，即 ，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′： =1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d= = ，即可得出最小值．