Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（2）若A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x0 ， y0）是函数f（x）图象上不同的三点，且x0= ，试判断f′（x0）与 之间的大小关系，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ = ．（x∈[1，2]）．

①a=0，f′（x）= ，可得f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，因此x=2时，函数f（x）取得最大值，

f（2）=2﹣ln2．

②a≠0时，f′（x）= ．

a＞0时，可得f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，因此x=2时，函数f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

时， ＞2，可得f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，因此x=2时，函数f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

时，f′（x）= ，可得f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增，因此x=2时，函数f（x）取得最大值，f（2）=2﹣ln2．

时，2＞ ＞1．可得x=﹣ 时，函数f（x）取得最大值，f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

时，f′（x）= ≤0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，因此x=1时，函数f（x）取得最大值，

f（1）=1﹣a．

a 时，0＜ ＜1，可得f′（x）≤0，∴函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，因此x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=1﹣a．

综上可得： 时，函数f（x）取得最大值为f（2）=2﹣ln2．

时，函数f（x）取得最大值f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

a 时，函数f（x）取得最大值，f（1）=1﹣a．

（2）解：f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ ，f′（x0）=a（x1+x2）+1﹣2a﹣ ．

y1﹣y2= +（1﹣2a）x1﹣lnx1﹣[a +（1﹣2a）x2﹣lnx2]=a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+ln ．

∴ =a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ．

∴f′（x0）﹣ =﹣ ﹣ = ﹣ ．

不妨设0＜x1＜x2，令 ．

由 ﹣ = ﹣ =lnt﹣ =g（t），t＞1．

则g′（t）= ﹣ = ＞0，

∴函数g（t）在（1，+∞）上单调递增．

∴g（t）＞g（1）=0．

∴ ﹣ ＞0，

∴ ﹣ ＞0．

∴f′（x0）＞ ．

【解析】（1）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ = ．（x∈[1，2]）．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．（2）f′（x）=2ax+1﹣2a﹣ ，f′（x0）=a（x1+x2）+1﹣2a﹣ ．而 =a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ．作差可得f′（x0）﹣ =﹣ ﹣ = ﹣ ．不妨设0＜x1＜x2 ， 令 ．由 ﹣ = ﹣ =lnt﹣ =g（t），t＞1．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．