Question

(华南师大附中模拟)已知函数(x＞0)．

(1)当0＜a＜b，且f(a)=f(b)时，求证：ab＞1；

(2)是否存在实数a，b(a＜b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)故f(x)在(0，1]上是减函数，而在上是增函数，由0＜a＜b而f(a)=f(b)得0＜a＜1＜b，即，而，所以ab＞1． (2)不存在这样的实数a，b．假设存在这样的实数a，b使得函数y=f(x)的定义域、值域是都是[a，b]，①当0＜a＜b＜1时，函数在(0，1]上是减函数，则即解得a=b，与0＜a＜b＜1矛盾，故此时不存在满足条件的实数a，b． ②当1＜a＜b时，函数在上是增函数，则即此时实数a，b为方程的两根，但方程无实数根，因此不存在满足条件的实a，b． ③当0＜a＜1＜b时，显然有，而(这是因为a＞0)，故此时不存在满足条件的实数a，b． 综合①②③可得满足条件的实数是不存在的．