Question

如果函数的定义域为R，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”。
(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；
(2)已知具有“性质”，且当时，求在上有最大值；
(3)设函数具有“性质”，且当时，.若与交点个数为2013，求的值.

Answer 1

(1)  ，(2) 当时，，当时，， (3) .

试题分析：(1)新定义问题，必须从定义出发,实际是对定义条件的直译. 由得，(2)由 性质知函数为偶函数. ∴当时，∵在单调增，∴时，，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时，，当时，∵在单调减，在上单调增，又，∴时，. (3) ∵函数具有“性质” ∴∴∴函数是以2为周期的函数. 当时，为偶函数，因此易得函数是以1为周期的函数.结合图像得: ①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点∴过，从而得,②当时，同理可得,③当时，不合题意, 综上所述.
(1)由得
∴
∴函数具有“性质”，其中       2分
(2) ∵具有“性质”
∴
设，则，∴
∴              4分
当时，∵在单调增，∴时，      5分
当时，∵在单调减，在上单调增
又，∴时，        6分
当时，∵在单调减，在上单调增
又，∴时，            7分
综上得当时，，当时，  8分
(3) ∵函数具有“性质”
∴
∴，
∴函数是以2为周期的函数                  9分
设，则，

再设
当，则

当，则

∴对于，都有
而
∴
∴函数是以1为周期的函数                12分
①当时，要使得与有2013个交点，只要与在区间有2012个交点，而在内有一个交点
∴过，从而得              14分
②当时，同理可得
③当时，不合题意
综上所述                           16分