Question

【题目】已知函数有两个极值点.

（1）求的取值范围；

（2）设，是的两个极值点，证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）的定义域为，，设，则由题意得在内有两个不等零点，利用导数性质求出，推导出在和内分别存在一个变号零点，由此能求出的取值范围；

（2）的极值点，就是的零点，即，推导出，，设，，再求导，由此利用导数性质能证明，即．

解：（1）由，，得.

函数有两个极值点等价于在上有两个变号零点，

等价于在上有两个变号零点.

令，则.

所以时，，单调递增；

时，，单调递减，所以.

当时，恒成立，在上单调递减，不可能有两个极值点，舍去；

当时，，，，，而，

由零点存在性定理得在和内分别存在一个变号零点，此时有两个极值点.

综上，所以求的取值范围为.

（2）因为，是的两个极值点，所以，且.

由（1）知，.

令，.

则，

由在恒成立，得时，，单调递减.

又，所以时，，即.

所以，所以.

由（1）知在单调递减，

所以，即.

所以，即，

因为，所以，所以.

即.