Question

将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形与一个圆形，则当它们的面积之积最大时，正方形与圆的周长之比为（　　）

A．1：1

B．π：4

C．4：π

D．2：π

Answer 1

分析：正确理解题意，充分应用正方形的知识和圆的知识，表示出两种图形的面积．构造目标函数后结合目标函数的特点--一元二次函数，利用二次函数的性质求最值．

解答：解：设正方形周长为x，则圆的周长为1-x，半径r=

1-x

2π

．
∴S_正=（

x

4

）²=

x2

16

，S_圆=π•

(1-x)2

4π2

．
∴S_正×S_圆=

x2(1-x)2

64π2

≤

1

16×64×π2

（0＜x＜1）．
∴当且仅当x=

1

2

时有最小值．
此时正方形与圆的周长之比为1：1
故选A．

点评：本题充分考查了正方形和圆的知识，目标函数的思想还有一元二次函数求最值的知识．在解答过程当中要时刻注意定义域优先的原则．