Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝4a_n－p(n∈N^*)，其中p是不为零的常数．

(1)证明：数列{a_n}是等比数列；

(2)当p＝3时，若数列{b_n}满足＝a_n＋b_n(n∈N^*)，b₁＝2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

解：(1)证明：因为S_n＝4a_n－p(n∈N^*)，

则S_n－1＝4a_n－1－p(n∈N^*，n≥2)，

所以当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝4a_n－4a_n－1，整理得a_n＝a_n－1.

由S_n＝4a_n－p，令n＝1，得a₁＝4a₁－a，解得a₁＝.

所以{a_n}是首项为，公比为的等比数列．

(2)因为a₁＝1，则a_n＝()^n－1，

由b_n＋1＝a_n＋b_n(n＝1,2，…)，得b_n＋1－b_n＝()^n－1，

当n≥2时，由累加得

b_n＝b₁＋(b₂－b₁)＋(b₃－b₂)＋…＋(b_n－b_n－1)

当n＝1时，上式也成立．