Question

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救、甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与成θ角，求（x∈R）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用余弦定理可得．
（Ⅱ）在△ABC中，利用正弦定理可得sinθ，用平方关系求cosθ，再用asinθ+bcosθ=sin（θ+φ）化为一个角的一个三角函数，可得值域．
解答：解：（Ⅰ）连接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10cos120°=700
∴BC=10（海里），
即处于C处的乙船和遇险渔船间的距离为10海里．（5分）
（Ⅱ）∵，∴sinθ=∵θ是锐角，∴
=
∴f（x）的值域为 （13分）
点评：本题考查解三角形的实际应用，用到正、余弦定理，正弦定理在解三角形时，用于下面两种情况：一是知两边一对角，二是知两角和一边，余弦定理在解三角形中，用于下面两种题型：知三边解三角形；知两边及夹角解三角形，求三角函数的值域时，要化为一个角的一个三角函数来求．