题目内容
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于5
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| 14 |
5
| ||
| 14 |
分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，由∠ACB为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos∠ACB的值，由θ=30°+∠ACB，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°，
根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10
海里，
根据正弦定理得
=
，即
=
，
∴sin∠ACB=
，
∵∠ACB为锐角，∴cos∠ACB=
，
∴sinθ=sin（30°+∠ACB）=
×
+
×
=
．
故答案为：
解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°，根据余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10
| 7 |
根据正弦定理得
| BC |
| sin∠CAB |
| AB |
| sin∠A CB |
10
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| 20 |
| sin∠ACB |
∴sin∠ACB=
| ||
| 7 |
∵∠ACB为锐角，∴cos∠ACB=
2
| ||
| 7 |
∴sinθ=sin（30°+∠ACB）=
| 1 |
| 2 |
2
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| 7 |
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| 2 |
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| 7 |
5
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| 14 |
故答案为：
5
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点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
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