题目内容
【题目】如图，四棱锥
中侧面
为等边三角形且垂直于底面
，
，
，
，
是
的中点.
（1）证明：直线
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）证明四边形
是平行四边形，可得
，进而得证.
（2）首先取
的中点
，连接
，根据题意易证
底面
， 再建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值.
（1）取
的中点
，连接
，
，
∵
是
的中点，∴
，
又
，∴
，
∴四边形是平行四边形，
∴
，
又
不在平面
内，
在平面内，
∴
平面.
（2）取的中点，连接.
因为
，所以
又因为平面
底面
，所以底面.
分别以、所在的直线为
轴和
轴，以底面内的中垂线为
轴
建立空间直角坐标系，
令
，则
，
因为
是等边三角形，则
，为的中点，
，
则
，
，
，
∴
，
，
，
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，
则
，令
，
，
，令
，故可取
，
∴
，
经检验，二面角
的余弦值的大小为.
练习册系列答案
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【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：
使用手机 | 不使用手机 | 总计 | |
学习成绩优秀 | 10 | 40 | |
学习成绩一般 | 30 | ||
总计 | 100 |
（Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；
（Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为
，试求的分布列与数学期望.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
