Question

【题目】已知函数f（x）= （其中e是自然对数的底数，a∈R）． （Ⅰ）若曲线f（x）在x=l处的切线与x轴不平行，求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，f′（x）= ， f′（1）=0，且曲线f（x）在x=1处的切线方程为y= ，
∵切线与x轴不平行，故切线与x轴重合，∴ ，即a=﹣1；
（Ⅱ）f′（x）= ，
设h（x）= ，则h′（x）=﹣2x+（2﹣a）+ ．
h′（x）在（0，1]上是减函数，从而h′（x）＞h′（1）=2﹣a．
①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上为增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴f（x）在（0，1]上是减函数．
∴a≤2满足题意；
②当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x1 ，
则h（x）在（0，x1）上递增，在（x1 ， 1）上递减．
又∵h（1）=0，∴h（x1）＞0．
又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a﹣ea＜0，
∴h（x）在（0，1）内由唯一一个零点x′，
当x∈（0，x′）时，h（x）＜0，当x∈（x′，1）时，h（x）＞0．
从而f（x）在（0，x′）上递减，在（x′，1）上递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综上，a的最大值为2．
【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得f′（1）=0，得到曲线f（x）在x=1处的切线方程为y= ，结合切线与x轴不平行，可得 ，从而求得a值；（Ⅱ）由f′（x）= ，设h（x）= ，求出h′（x），可知h′（x）在（0，1]上是减函数，从而h′（x）＞h′（1）=2﹣a． 然后分当2﹣a≥0，和2﹣a＜0分类研究函数的单调性得答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．