Question

（2013•黑龙江二模）已知函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂，则下列结论中正确的是（　　）

• A．（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0
• B．f（

  x1+x2

  2

  ）＜f（

  f(x1)+f(x2)

  2

  ）
• C．x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）
• D．x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

分析：根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确； 利用导数判断函数

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函数，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，
化简可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正确、且D不正确．

解答：解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+∞）上是增函数，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，可得[f（x₁）-f（x₂）]＜0，
故（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故A不正确．
由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（

x1+x2

2

）＞f（

f(x1)+f(x2)

2

），故B不正确．
∵已知函数f（x）=lnx，x₁，x₂∈（0，

1

e

），且x₁＜x₂ ，则 [

f(x)

x

]′=

f′(x)x-f(x)

x2

=

1-lnx

x2

＞0，
∴函数

f(x)

x

 在（0，+∞）上是增函数，故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

，化简可得 x₁f（x₂）＞x₂f（x₁），故C正确、且D不正确．
故选C．

点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题．