Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知点，抛物线的焦点为，设为抛物线上异于顶点的动点，直线交抛物线于另一点，连结，，并延长，分别交抛物线与点，.

（1）当轴时，求直线与轴的交点的坐标；

（2）设直线，的斜率分别为，，试探索是否为定值？若是，求出此定值；若不是，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）是定值，

【解析】

（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到直线MN的方程，代入抛物线方程求出M、N的坐标，由两点式求得直线ME的方程，和抛物线方程联立解得P点坐标，同理求得Q点坐标，则直线PQ的方程可求，直线PQ与x轴的交点坐标可求；

（2）分别设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），再设直线MN、MP、NQ的直线方程，分别和抛物线方程联立后由根与系数关系得到y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，x4＝4x1．代入斜率公式整理得答案．

（1）抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）．

当MN⊥Ox时，直线MN的方程为 x＝1．

将x＝1代入抛物线方程y2＝4x，得y＝±2．

不妨设M（1，2），N（﹣1，2），

则直线ME的方程为y＝﹣2x+4，

由，解得x＝1或x＝4，于是得P（4，﹣4）．

同理得Q（4，4），所以直线PQ的方程为x＝4．

故直线PQ与x轴的交点坐标（4，0）；

（2）设直线MN的方程为x＝my+1，

并设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）．

由，得y2﹣4my﹣4＝0，

于是y1y2＝﹣4 ①，从而②．

设直线MP的方程为x＝my+2，

由，得y2﹣4my﹣8＝0，

∴y1y3＝﹣8 ③，x1x3＝4 ④．

设直线NQ的方程为x＝ty+2，

由，得y2﹣4ty﹣8＝0，

于是y2y4＝﹣8 ⑤，x2x4＝4 ⑥．

由①②③④⑤⑥，得y3＝2y2，x3＝4x2，y4＝2y1，

x4＝4x1．，

即．