Question

【题目】给定正整数，已知用克数都是正整数的块砝码和一台天平可以称出质量为克的所有物品．

（1）求的最小值；

（2）当且仅当取什么值时，上述块砝码的组成方式是惟一确定的？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设这块砝码的质量数分别为，且．因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为．若利用这块砝码可以称出质量为的

物品，则上述表示式中含有，由对称性易知也含有，即

．

所以， ．即．

设，则．

且时，可取．

由数的三进制表示可知，对任意，都有，其中．

则 ．

令，则．

故对一切的整数，都有，其中．

由于，因此，对一切的整数，也有上述表示．

综上，可知的最小值．

（2）Ⅰ当时，由（1）可知就是一种砝码的组成方式．下面我们证明也是一种方式．

若，由（1）可知，则；

若，则．

由（1）可知，其中．

易知，．（否则矛盾）则．

所以，当时，块砝码的组成方式不惟一．

Ⅱ．下面我们证明：当时，块砝码的组成方式是惟一的，即．

若对每个，都有，即

．

注意左边集合中至多有个元素，故必有 ．

从而，对每个，，都可以惟一地表示为，其中．

因而，，则．

令，则．

由上可知，对每个，都可以惟一地表示为，其中．

特别地，易知．

下面用归纳法证明．

当时，易知中最小的正整数是，故．

假设当时，．

由于就是数的三进制表示，易知它们正好是，故应是除上述表示外中最小的数，因此，．

由归纳法可知，．

综合Ⅰ，Ⅱ可知，当且仅当时，上述块砝码的组成方式是惟一确定的．