题目内容

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知 $数学公式$ （n∈N^）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，数列{b_n}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^且n≥2，都有 $数学公式$ 成立，求m的最大值；
（3）令 $数学公式$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时， $数学公式$ ．

（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ （n≥2）．
两式相减，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （n≥2）．
于是 $\text{[math]}$ ，所以数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列．（2分）
又 $\text{[math]}$ ，所以a₁=4．
所以 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即f（n+1）＞f（n），所以数列{f（n）}为递增数列．（7分）
所以当n≥2时，f（n）的最小值为 $\text{[math]}$ ．
据题意， $\text{[math]}$ ，即m＜19．又m为整数，故m的最大值为18．（8分）
（3）因为 $\text{[math]}$ ，则当n≥2时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．（9分）
下面证 $\text{[math]}$
先证一个不等式，当x＞0时， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时， $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
以上n个式相加，即有 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）由条件可得 $\text{[math]}$ ，再化为 $\text{[math]}$ ，可得数列 $\text{[math]}$ 是公差为1的等差数列，求出a₁的值，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（2）因为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，化简 f（n+1）-f（n），再用放缩法证明它大于零，可得
数列{f（n）}为递增数列，由此求得它的最小值 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ 求得m的最大值．
（3）因为 $\text{[math]}$ ，则当n≥2时，化简T_2n为 $\text{[math]}$ ，再通过证明当x＞0时， $\text{[math]}$ ，来证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查等差关系的确定，数列与不等式综合，数学归纳法的应用，属于难题．