Question

如图，已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右准线l₁：x=4与x轴交与点M，点A，F₂分别是的右顶点和右焦点，且MA=2AF₂．过点A作斜率为-1的直线l₂交椭圆于另一点B，以AB为底边作等腰三角形ABC，点C恰好在直线l₁上．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为e=

1

2

，从而a=2c，又椭圆的右准线l₁：x=4，所以

a2

c

=4，所以a=2，c=1，从而可求椭圆G的方程；
（2）直线l₂的方程为y=-x+2，解方程组

x2 4 +y2=1 y=-x+2

，可得B(

2

7

，

12

7

)，所以AB中点D(

8

7

，

6

7

)，从而可得AB的垂直平分线方程为y-

6

7

=x-

8

7

，由此可求C(4，

26

7

)，所以CD=

20 2

7

，AB=

12 2

7

，故可求△ABC的面积．

解答：解：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为e=

1

2

，即a=2c．
又椭圆的右准线l₁：x=4，所以

a2

c

=4，所以a=2，c=1．
所以求椭圆G的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵过点A作斜率为-1的直线l₂，
∴直线l₂的方程为y=-x+2，
解方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=-x+2

，得

x=2 y=0

或

x= 2 7 y= 12 7

，即
∵A（2，0），∴B(

2

7

，

12

7

)，
所以AB中点D(

8

7

，

6

7

)．
AB的垂直平分线方程为y-

6

7

=x-

8

7

，即y=x-

2

7

，
令x=4，得y=

26

7

，即C(4，

26

7

)．
所以CD=

20 2

7

，AB=

12 2

7

，
所以△ABC的面积S=

240

49

．

点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，综合性强．