题目内容

如图，已知椭圆G： $数学公式$ 的右准线l₁：x=4与x轴交与点M，点A，F₂分别是的右顶点和右焦点，且MA=2AF₂．过点A作斜率为-1的直线l₂交椭圆于另一点B，以AB为底边作等腰三角形ABC，点C恰好在直线l₁上．
（1）求椭圆G的方程；
（2）求△ABC的面积．

解：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，即a=2c．
又椭圆的右准线l₁：x=4，所以 $\text{[math]}$ ，所以a=2，c=1．
所以求椭圆G的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）∵过点A作斜率为-1的直线l₂，
∴直线l₂的方程为y=-x+2，
解方程组 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，即
∵A（2，0），∴ $\text{[math]}$ ，
所以AB中点 $\text{[math]}$ ．
AB的垂直平分线方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
令x=4，得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以△ABC的面积 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由MA=2AF₂，得椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，从而a=2c，又椭圆的右准线l₁：x=4，所以 $\text{[math]}$ ，所以a=2，c=1，从而可求椭圆G的方程；
（2）直线l₂的方程为y=-x+2，解方程组 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，所以AB中点 $\text{[math]}$ ，从而可得AB的垂直平分线方程为 $\text{[math]}$ ，由此可求 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，故可求△ABC的面积．
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积，综合性强．