Question

设直线y=ax（a＜1）与抛物线y=x²所围成的图形面积为S，它们与直线x=1围成的面积为T，若U=S+T达到最小值，求a值；并求此时平面图形绕x轴一周所得旋转体的体积．

Answer 1

分析：对a分0＜a＜1，a＜0两种情况，利用定积分求出U关于a的函数关系式，再利用导数求最值．

解答：解：

(1)当0＜a＜1时，如图1 由 y=ax y=x2 得交点(0，0)和(a，a2)，S= ∫ a 0 (ax-x2)dx=( ax2 2 - x3 3 )|_a= a3 2 - a3 3 = a3 6

T= ∫ 1 a (x2-ax)dx=( x3 3 - ax2 2 )|_1=( 1 3 - a 2 )-( a3 3 - a3 2 )= 1 3 - a 2 + a3 6 ∴U=S+T= a3 3 - a 2 + 1 3 U′=a2- 1 2 ．令U′=0，得a= 2 2 .

当a∈(0，

2

2

)时，U′＜0，当a∈(

2

2

，1)时，U′＞0故，当a=

2

2

时，U最小值为

2- 2

6

．

(2)当a＜0时，如图2 由 y=ax y=x2 得交点(0，0)和(a，a2)，S= ∫ 0 a (ax-x2)dx=( ax2 2 - x3 3 )|_0=- a3 2 + a3 3 =- a3 6 T= ∫ 1 0 (x2-ax)dx=( x3 3 - ax2 2 )|_1=( 1 3 - a 2 )= 1 3 - a 2 ∴U=S+T=- a3 6 - a 2 + 1 3 . U′=- a2 3 - 1 2 ＜0 所以函数U(a)在(-∞，0)上单调递减

此时无最小值．
综上所述，a=

2

2

时，u_min=

2- 2

6

点评：本题考查利用定积分求曲边多边形的面积，考查转化计算、数形结合、分类与整合的思想与能力．