Question

（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=

4 2

3

，|CD|=2-

4 2

3

，AC⊥BD，M为CD的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使

MP

=λ₀

PN

，且P点到A、B 的距离和为定值，
（3）过（0，

1

2

）的直线与轨迹E交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0，求此直线方程．求点P的轨迹E的方程．

Answer 1

分析：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

），利用AC⊥BD，即

AC

•

BD

=0，可得轨迹方程；
（2）确定P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点），要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+

1

(1+λ0)2

=

8

9

，从而可得所求P的轨迹方程；
（3）易知l的斜率存在，设方程为y=kx+

1

2

代入椭圆方程，利用

OP

•

OQ

=0，即可求得结论．

解答：解：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+

2 2

3

），D（x，y+1-

2 2

3

）
∵A（0，

2 2

3

），B（0，-

2 2

3

），AC⊥BD
∴

AC

•

BD

=0，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）设P（x，y），则M（（1+λ₀）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ₀）² x²+y²=1（x≠0）
∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+

1

(1+λ0)2

=

8

9

，
∴λ₀=2 
从而所求P的轨迹方程为9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，设方程为y=kx+

1

2

，代入椭圆方程可得（9+k²）x²+kx-

3

4

=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

k

9+k2

，x₁x₂=-

3

4(9+k2)

∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得

-3(k2+1)

4(9+k2)

-

k2

2(9++k2)

+

1

4

=0
∴k=±

6

2

即所求l的方程为y=±

6

2

x+

1

2

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．