题目内容

（理科）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|= $数学公式$ ，|CD|=2- $数学公式$ ，AC⊥BD，M为CD的中点．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ₀，使 $数学公式$ =λ₀ $数学公式$ ，且P点到A、B 的距离和为定值，
（3）过（0， $数学公式$ ）的直线与轨迹E交于P、Q两点，且 $数学公式$ • $数学公式$ =0，求此直线方程．求点P的轨迹E的方程．

解：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+ $\text{[math]}$ ），D（x，y+1- $\text{[math]}$ ）
∵A（0， $\text{[math]}$ ），B（0，- $\text{[math]}$ ），AC⊥BD
∴ $\text{[math]}$ ，即（x，y-1）•（x，y+1）=0，
∴x²+y²=1（x≠0）．
（2）设P（x，y），则M（（1+λ₀）x，y），代入M的轨迹方程（1+λ₀）²x²+y²=1（x≠0）
∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）．
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴λ₀=2
从而所求P的轨迹方程为9x²+y²=1（x≠0）．
（3）l的斜率存在，设方程为y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程可得（9+k²）x²+kx- $\text{[math]}$ =0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂=- $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
整理，得 $\text{[math]}$
∴k=± $\text{[math]}$
即所求l的方程为 $\text{[math]}$
分析：（1）设点M的坐标为M（x，y）（x≠0），则 C（x，y-1+ $\text{[math]}$ ），D（x，y+1- $\text{[math]}$ ），利用AC⊥BD，即 $\text{[math]}$ ，可得轨迹方程；
（2）确定P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点），要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可得所求P的轨迹方程；
（3）易知l的斜率存在，设方程为y=kx+ $\text{[math]}$ 代入椭圆方程，利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，即可求得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．