Question

(14分) (理科)如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，

M为CD的中点.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，

使，且P点到A、B 的距离和为定值，

求点P的轨迹E的方程；

（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，且，求此直线方程.

Answer 1

(14分) (理科)解：（1）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则

又 由AC⊥BD有，

即，∴x²+y²=1（x≠0）.   ……………………… 4分

（2）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有

即，∴P的轨迹方程为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故

∴  从而所求P的轨迹方程为9x²+y²=1(x≠0).  ………………… 8分

（3）易知l的斜率存在，设方程为

联立9x²+y²=1，有

设P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂)，则.

∵，而

∴. 整理，得 

 ∴  即所求l的方程为……………………… 14分