Question

如图所示，水渠横断面为等腰梯形.

(1)若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？

Answer 1

解：(1)依题意，侧边BC=h·(sinΦ)^-1,设下底AB=x，则上底CD=x+2hcotΦ,

又S=(2x+2hcotΦ)h=(x+hcotΦ)h,

∴下底x=-hcotΦ,

∴横断面被水浸湿周长

l=(0＜Φ＜).

∴l′_Φ=

令l′_Φ=0,解得cosΦ=,∴Φ=.

根据实际问题的意义，当Φ=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.

(2)设水渠高为h，水流横断面积为S,则

S=(a+a+2acosΦ)·h=(2a+2acosΦ)·asinΦ=a²(1+cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜).

∴S′=a²［-sin²Φ+(1+cosΦ)cosΦ］=a²(2cosΦ-1)(cosΦ+1).

令S′=0,得cosΦ=或cosΦ=-1(舍)，故在(0,)内，当Φ=时，水流横断面积最大，最大值为S=a²(1+cos)sin=a².