Question

如图所示，水渠横断面为等腰梯形.

（1）若渠中流水的横断面积为S，水面的高为h，当水渠侧边的倾斜角φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？

（2）若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角φ多大时，水流的横断面积为最大？

Answer 1

解：（1）依题意,侧边BC=h·（sinφ）^-1,设下底AB=x,则上底CD=x+2hcotφ,?

又s=（2x+2hcotφ）h=（x+hcotφ）h,?

∴下底x=-hcotφ,?

∴横断面被水浸湿周长l=+（-hcotφ）=-+（0＜φ＜）.?

∴l′_φ=+.

令l′_φ=0，解得?

 cosφ=,∴φ=.?

根据实际问题的意义，当φ=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.

（2）设水渠高为h,水流横断面积为S,则?

S=（a+a+2acosφ）·h=（2a+2acosφ）·asinφ=a²（1+cosφ）·sinφ（0＜φ＜）.

∴S′=a²［-sin²φ+（1+cosφ）cosφ］?

=a²（2cosφ-1）（cosφ+1）.

令S′=0，得cosφ=或cosφ=-1（舍），故在（0,）内，当φ=时，水流横断面积最大，最大值为

S=a²（1+cos）sin=a².