题目内容

a
=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，cos
x
2
)，设f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f(x)=
a
•
b
．的周期及单调增区间．
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(A)=
3
，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．
分析：（Ⅰ）根据题目给出的两向量的坐标，直接代入数量积公式求得函数f（x）的解析式，化简后可求其周期，运用复合函数的单调性求解器增区间；
（Ⅱ）把f(A)=
3
代入（Ⅰ）中的函数解析式，求出A的大小，然后运用余弦定理求c的值．
解答：解：（Ⅰ）因为
a
=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，cos
x
2
)
所以f(x)=
a
•
b
=sin
x
2
cos
x
2
+
3
cos2
x
2

=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2

=sin(x+
π
3
)+
3
2
．
所以周期T=2π
由2kπ-
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，得2kπ-
5π
6
≤x≤2kπ+
π
6

所以函数的单调递增区间是{x|2kπ-
5π
6
≤x≤2kπ+
π
6
，k∈Z}．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，
所以sin(A+
π
3
)=
3
2

因为A∈（0，π），所以A+
π
3
∈(
π
3
，
4π
3
)
得A+
π
3
=
2π
3
，所以 A=
π
3
．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，
由a2=b2+c2-2bccosA，得：4c2=22+c2-2•2ccos
π
3
，所以3c2+2c-4=0，
∵c＞0，
∴c=
13
-1
3
．
点评：本题考查了平面向量数量积的运算及解三角形问题，考查了复合函数的单调性的求法，训练了利用余弦定理求解三角形，是高考常见题型．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
a+sinx
2+cosx
-bx（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为2680，试求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）为奇函数：
（1）是否存在实数b，使得f（x）在(0，
2π
3
)为增函数，(
2π
3
，π)为减函数，若存在，求出b的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当x≥0时，都有f（x）≤0恒成立，试求b的取值范围．
已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]
（1）若|
a
+
b
|＞
3
，求x的范围；
（2）f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，若对任意x1，x2∈[
π
2
，π]，恒有|f（x1）-f（x2）|＜t，求t的取值范围．
已知向量
a
=(sin
x
2
，cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，
3
cos
x
2
)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）如果△ABC中，f（A）=
3
，且角A所对的边a=2，求△ABC的周长l的取值范围．
已知A (-sin
x
2
，  sin
x
2
 )，B ( sin
x
2
，  -2 cos
x
2
 )，C ( cos
x
2
，  0 )三点．
（1）求向量
AC
和向量
BC
的坐标；
（2）设f（x）=
AC
•
BC
，求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）的单调递减区间．

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