题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=
（1）求{an}的通项公式．
（2）若数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
，求数列{bn}的通项公式．
| an |
| 2an+1 |
（1）求{an}的通项公式．
（2）若数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
| n |
| 3 |
分析：（1）由an+1=
，两边取倒数可得
-
=2，，利用等差数列的通项公式可求
从而可求an
（2）由a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=
（n≥2），两式相减可求anbn=
-
=
，将an=
代入可求
| an |
| 2an+1 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
（2）由a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
| n |
| 3 |
| n-1 |
| 3 |
| n |
| 3 |
| n-1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
解答：解：（1）因为a1=1，an+1=
所以
=
=
+2
从而
-
=2，所以数列{
}是以1为首项，2为公差的等差数列
所以
=1+2（n-1）=2n-1，从而an=
（2）由题知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=
（n≥2）
当n≥2时，两式相减可得：anbn=
-
=
，将an=
代入得bn=
又b1=
适合上式，所以bn=
| an |
| 2an+1 |
所以
| 1 |
| an+1 |
| 1+2an |
| an |
| 1 |
| an |
从而
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
所以
| 1 |
| an |
| 1 |
| 2n-1 |
（2）由题知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
| n |
| 3 |
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=
| n-1 |
| 3 |
当n≥2时，两式相减可得：anbn=
| n |
| 3 |
| n-1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 3 |
又b1=
| 1 |
| 3 |
| 2n-1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，及递推公式中“和”与“项”之间的转化，属于数列知识的简单应用．
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．