Question

己知函数f（x）=2acos²x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（）=
（Ⅰ）求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=sin（2x+）+1，从而可求f（x）的最大值与最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+）+1，令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即可求得其单调增区间．
解答：解：（Ⅰ）由f（0）=2，f（）=+可得：a=1，b=2，
∴f（x）=2cos²x+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+1
=sin（2x+）+1，
∴当x=+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，为+1；
当x=+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最小值，为-+1；
（Ⅱ）令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[-+kπ，+kπ]，k∈Z．
点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的单调性与最值，突出辅助角公式的应用，考查分析与应用能力，属于中档题．