Question

(2006北京西城模拟)已知实数c≥0，由线与直线l：y=x－c的交点为P(异于原点O)，在曲线C上取一点，过点作平行于x轴，交直线l于点，过点作平行于y轴，交曲线C于点，接着过点作平行于x轴，交直线l于点，过点作直线平行于y轴，交曲线C于点，如此下去，可以得到点，，…，，…．设点P的坐标为，，0＜b＜a．

(1)试用c表示a，并证明a≥1；

(2)试证明，且；

(3)当c=0，当时，求证：．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)点P的坐标，满足方程组，所以，解，得，所以． 因为c≥0，所以，所以a≥1． (2)由已知，，， 即，，，由(1)， 所以， 因为，0＜b＜a，a≥1，所以． 下面用数学归纳法证明． 当n=1时，； 假设当n=k时，，由已知，，， 所以，． 综上，． (3)当c=0时，，， 所以． 因为，所以当k≥1时，，所以，， 又， 所以，， 所以，．