题目内容
如图, 四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形, PA⊥底面ABCD, E, F分别是AC, PB的中点.
(1) 证明: EF∥平面PCD；
(2) 若PA＝AB, 求EF与平面PAC所成角的大小.
(1) 证明: 如图, 连结BD, 则E是BD的中点.
又F是PB的中点,，所以EF∥PD.
因为EF不在平面PCD内,所以EF∥平面PCD.
(2) 连结PE. 因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD.
因此BD⊥平面PAC.故∠EPD是PD与平面PAC所成的角.
因为EF∥PD,
所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD.
因为PA＝AB＝AD, ∠PAD＝∠BAD＝
,
所以Rt△PAD ≌ Rt△BAD. 因此PD＝BD.
在Rt△PED中,sin∠EPD＝
,得∠EPD=
.
所以EF与平面PAC所成角的大小是.
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