题目内容
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC．PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小．
分析：法一：（Ⅰ）证明平面PAB⊥平面PCB，只需证明平面PCB内的直线BC，垂直平面PAB内的两条相交直线PA，AB，即可证明BC⊥平面PAB，就证明了平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）证明平面EAC外的直线PD，平行平面EAC内的直线EM，即可证明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，．说明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明
=
，从而证明PD∥EM．PD?平面EAC，EM?平面EAC，PD∥平面EAC．
（Ⅲ）求出平面EAC的一个法向量
，平面EBC的一个法向量
，利用cos?
，
＞=
=
，求二面角A-EC-P的大小．
（Ⅱ）证明平面EAC外的直线PD，平行平面EAC内的直线EM，即可证明PD∥平面EAC；
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，．说明∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角，解Rt△AHN，求二面角A-EC-P的大小．
法二：（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，通过向量计算，说明
| PE |
| EB |
| DM |
| MB |
（Ⅲ）求出平面EAC的一个法向量
| n1 |
| n2 |
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
解答：证明：
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，
∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=
，
∴∠DCA=∠BAC=
．
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=
AC=
(
AB)=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
=
=2．（7分）
在△BPD中，
=
=2，
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，
∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，设CB=a，则PB=
=
a，BE=
PB=
a，NE=
PB=
a，CE=
=
a，
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴
=
．
代入解得：NH=
．
在Rt△AHN中，AN=
a，∴tanAHN=
=
（13分）
即二面角A-CE-P的大小为arctan
．（14分）
解法二：
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E(0，
，
)．（5分）
设D（a，y，0），则
=(-a，-a，a)，
=(a，y，0)，∵CP⊥AD，
∴
•
=-a2-ay=0，解得：y=-a．∴DC=2AB．
连接BD，交AC于点M，
则
=
=2．（7分）
在△BPD中，
=
=2，
∴PD∥EM．
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）设
=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，则
⊥
，
⊥
∴
解得：x=
，y=-
，∴
=(
，-
，1)．（11分）
设
=（x'，y'，1）为平面EBC的一个法向量，则
⊥
，
⊥
，
又
=(a，0，0)，
=(0，-
，
)，∴
解得：x'=0，y'=1，∴
=（0，1，1）．（12分）cos?
，
＞=
=
（13分）
∴二面角A-CE-P的大小为arccos
．（14分）
（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．（2分）
又BC?平面PCB，
∴平面PAB⊥平面PCB．（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，
∴AC为PC在平面ABCD内的射影．
又∵PC⊥AD，
∴AC⊥AD．（5分）
在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=
| π |
| 4 |
∴∠DCA=∠BAC=
| π |
| 4 |
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=
| 2 |
| 2 |
| 2 |
连接BD，交AC于点M，则
| DM |
| MB |
| DC |
| AB |
在△BPD中，
| PE |
| EB |
| DM |
| MB |
∴PD∥EM
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）在等腰直角△PAB中，取PB中点N，连接AN，则AN⊥PB．
∵平面PAB⊥平面PCB，且平面PAB∩平面PCB=PB，
∴AN⊥平面PBC．
在平面PBC内，过N作NH⊥直线CE于H，连接AH，由于NH是AH在平面CEB内的射影，故AH⊥CE．
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角．（12分）
在Rt△PBC中，设CB=a，则PB=
| PA2+AB2 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 1 |
| 6 |
| ||
| 6 |
| CB2+BE2 |
| ||
| 3 |
由NH⊥CE，EB⊥CB可知：△NEH∽△CEB，
∴
| NH |
| NE |
| CB |
| CE |
代入解得：NH=
| a | ||
|
在Rt△AHN中，AN=
| ||
| 2 |
| AN |
| NH |
| 11 |
即二面角A-CE-P的大小为arctan
| 11 |
解法二：
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），E(0，
| 2a |
| 3 |
| a |
| 3 |
设D（a，y，0），则
| CP |
| AD |
∴
| CP |
| AD |
连接BD，交AC于点M，
则
| DM |
| MB |
| DC |
| AB |
在△BPD中，
| PE |
| EB |
| DM |
| MB |
∴PD∥EM．
又PD?平面EAC，EM?平面EAC，
∴PD∥平面EAC．（9分）
（Ⅲ）设
| n1 |
| n1 |
| AC |
| n1 |
| AE |
∴
|
解得：x=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| n1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设
| n2 |
| n2 |
| BC |
| n2 |
| BE |
又
| BC |
| BE |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
|
解得：x'=0，y'=1，∴
| n2 |
| n1 |
| n2 |
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
∴二面角A-CE-P的大小为arccos
| ||
| 6 |
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
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