Question

6．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，满足2a_n+1+S_n-2=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，将n换为n-1相减，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得${b_n}=n{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）∵2a_n+1+S_n-2=0，
∴当n≥2时，2a_n+S_n-1-2=0，
两式相减得2a_n+1-2a_n+S_n-S_n-1=0，2a_n+1-2a_n+a_n=0，∴${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}$；
又当n=1时，$2{a_2}+{S_1}-2=0⇒{a_2}=\frac{1}{2}{a_1}$，即${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}（n∈N+）$，
∴{a_n}是以首项a₁=1，公比$q=\frac{1}{2}$的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（2）由（1）知，${b_n}=n{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
则${T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，①
$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，②
①-②得$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$
=$\frac{{（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2（1-\frac{1}{2^n}）-\frac{n}{2^n}=2-（n+2）\frac{1}{2^n}$，
所以，数列{b_n}的前n项和为${T_n}=4-（n+2）\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列通项的求法，注意运用数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．