Question

某城市有一条公路自西向东通过市中心O后转向东北方向OB,现要修建一条铁路L,并在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,现要求市中心O与AB的距离为10 km,问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短,并求出最短距离.

Answer 1

解:在△AOB中,设OA=a,OB=b,

∵AO为正东方向,OB为东北方向,

∴∠AOB=135°.

∴|AB|²=a²+b²-2abcos135°=a²+b²+ab.

    又O到AB的距离为10,

    设∠OAB=α(0°＜α＜45°),

    则∠OBA=45°-α.

∴a=,b=.∴|AB|²=++··=

100·=

==.

∴0°＜α＜45°,

∴45°＜2α+45°＜135°.

∴＜sin(2α+45°)≤1.

∴|AB|²≥=400(+1)²(当且仅当α=22.5°时取等号).

∴|AB|_min=20(+1).

    此时,a=b==10,

即当A、B离O点均为10 km时,能使|AB|最短.其最短距离为20(+1) km.