Question

【题目】已知函数， ，（其中， 为自然对数的底数， ……）.

（1）令，求的单调区间；

（2）已知在处取得极小值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求导函数的导数得，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当时，导函数不变号，为单调递增；当时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增（2）由题意得，结合（1）根据导函数单调性分类讨论在处是否为极小值：当时， 在附近先减后增，为极小值；当时，按与零大小关系进行二次讨论： ， 单调递增； 在附近先减后增，为极小值；当时， ，无极值； 时， 单调递减； 在附近先增后减，为极大值；综上可得实数的取值范围.

试题解析：解: (Ⅰ) 因为，

所以，

当时， ， 的单调递增区间为，

当时，由，得，

时， ， 时， ，

所以的减区间为 ，增区间为

综上可得，当时， 在上单调递增

当时， 的增区间为，减区间为.

（Ⅱ）由题意得， ，

（1）当时， 在上单调递增，

所以当时， ，

当时， ，

所以在处取得极小值，符合题意.

（2）当时， ， 由（Ⅰ）知在单调递增，

所以当时， ，当时， ，

所以在处取得极小值，符合题意.

（3）当时，由（Ⅰ）知在区间单调递减， 在区间单调递增，

所以在处取得最小值，即，

所以函数在上单调递增，

所以在处无极值，不符合题意.

（4）当时， ，由（Ⅰ）知的减区间为，

所以当时， ，当时， ，

所以在处取得极大值，不符合题意，

综上可知，实数的取值范围为.