Question

【题目】如图，在直角梯形中， ， ， ，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接， ， ，得到如图所示的几何体．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）若， 与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（I）由翻折前后线面间的关系，根据线面垂直可证明线线垂直，可得，又，据线面垂直定理可得 ⊥平面；（II）由的正投影的正切角可求出图中各边的值，将点到平面的距离可看作三棱锥底面上的高．利用体积可求．求三棱锥的体积即求的体积．

试题解析：

(Ⅰ) 因为平面⊥平面，平面平面，

又⊥，所以⊥平面.

因为平面，所以⊥

又因为折叠前后均有⊥， ∩,

所以⊥平面.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知⊥平面，所以在平面内的正投影为，

即∠为与其在平面内的正投影所成角.

依题意，

因为 所以.

设，则,

因为△～△，所以，

即，

解得，故.

由于⊥平面， ⊥, 为的中点,

由平面几何知识得,

同理,

所以.

因为⊥平面，所以.

设点到平面的距离为,

则,

所以，即点到平面的距离为.