Question

已知抛物线y²=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=1：2，当点B在抛物线上变动时，则点P的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：设出点P（x，y）和点B（X，Y），由定比分点公式得到这两个坐标的关系．即用x，y来表示X，Y．再根据B点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得x，y的关系，亦即轨迹方程，进而进一步判断曲线类型．

解答：解：设点B的坐标（X，Y），点P的坐标为（x，y），则 X=

3

2

（x-1），（1）Y=

1

2

（3y-1），（2）
∵点B在抛物线上，∴Y²=X+1，
将（1），（2）代入此方程，得[

1

2

（3y-1）]²=

3

2

（x-1）+1，化简得x=

3

2

y²-y+

1

2

，
故答案为x=

3

2

y²-y+

1

2

点评：在求解轨迹方程的问题时，一般都是“求什么设什么”的方法，再利用题中的条件列出等式即可得到轨迹方程，这也是高考中学生不易把握的一个知识点．