Question

已知抛物线y²=-x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点，则△AOB的形状是

直角三角形

．

Answer 1

分析：直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，验证x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到结论．

解答：解：由

y2=-x y=k(x+1)

，得k²x²+（2k²+1）x+k²=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

2k2+1

k2

，x₁x₂=1，
∵x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁+1）（x₂+1）=1+k²（1-

2k2+1

k2

+1）=0，
∴

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴△AOB是直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．