Question

如果函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1在区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a≤5
• B、5≤a≤7
• C、a≥7
• D、a≤5或a≥7

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1，我们可以求出函数的导函数的解析式，令导函数等于0，则我们可以求出函数的极值点为1和a-1，由函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，我们可得函数的极值点a-1介于4到6之间，构造关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f(x)=

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3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x+1
∴f′（x）=x²-ax+（a-1）=（x-1）[x-（a-1）]
又∵函数f（x）区间（1，4）上为减函数，在（6，+∞）上为增函数，
∴4≤a-1≤6
∴5≤a≤7
故选B．

点评：本题考查的知识点是函数单调性与导数的关系，其中根据已知中函数f（x）的解析式，求出函数的导函数f′（x）的解析式，是解答本题的关键．