Question

已知函数f(x)=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函数在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证．

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞

n2-n+1

n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，则f′(x)=-

lnx

x

，利用函数的单调性和函数f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，构造函数g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，由此能够证明

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞

n2-n+1

n+1

(n∈N*)．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，
则f′（x）=

-lnx

x2

…1分
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．…2分
因为函数f（x）在区间(a，a+

1

2

)（其中a＞0）上存在极值，
所以

a＜1 a+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜a＜1．…4分
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

，
即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥k，记g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

，…6分
令h（x）=x-lnx，则h′(x)=1-

1

x

，∵x≥1，∴h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f(x)＞

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x-1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，…10分
所以 ln(1×2)＞1-

2

1×2

，ln(2×3)＞1-

2

2×3

，
ln(3×4)＞1-

2

3×4

，…，ln[n(n+1)]＞1-

2

n(n+1)

，
叠加得：

n

k=1

[lnk+ln(k+1)]＞n-2(1-

1

n+1

)＞n-2+

1

n+1

=

n2-n+1

n+1

…13分．

点评：本题考查极值的应用，应用满足条件的实数的取值范围的求法，不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法和分类讨论法的合理运用．