Question

【题目】已知函数，函数g（x）=-2x+3．

（1）当a=2时，求f（x）的极值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）极大值=f（1）=0，无极小值

（2）当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减

（3）．

【解析】

（1）当a=2时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值．

（2）求得，分a≤0和a＞0，两种情况讨论，即可得出函数的单调区间；

（3）把不等式转化为f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]，得到f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，令，得到h（x）在[1，2]递减，求得 对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立，进而转化变量只需要研究，即可求得t的取值范围.

（1）由题意，当a=2时，函数f（x）=lnx-x2+x，

则．

易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，

所以函数f（x）极大值为，无极小值．

（2）由函数，

则．

①a≤0时，＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；

②当a＞0，由＞0得，＜0得，

所以F（x）在单调递增，在单调递减．

综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；

当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．

（3）由题知t≥0，．

当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，

又g（x）单调递减，∴不等式等价于f（x2）-f（x1）≤t[g（x1）-g（x2）]．

即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意-2≤a≤-1，1≤x1≤x2≤2恒成立，

记，则h（x）在[1，2]递减．

对任意a∈[-2，-1]，x∈[1，2]恒成立．

令．

则在[1，2]上恒成立，

则，

而在[1，2]单调递增，∴，所以．